منطق ریاضی و مدار منطقی

یادگیری و آموزش منطق ریاضی و مدار منطقی می تواند ساده تر و جذاب تر باشد چنانکه بتوان در دنیای واقعی با مفاهیم منطق ریاضی کار کرد و آن را لمس و با آزمایش های ساده آن را درک کرد. شاید بهترین مثال برای کاربرد منطق ریاضی بتواند کامپیوتری باشد که در منزل شما از آن استفاده می شود. مداری که داخل کامپیوتر می تواند مثال خوبی برای کاربرد منطق ریاضی باشد که با دنیای 0 و 1 سر و کار دارد. برای اینکه بهتر متوجه شوید با اجزاء مدار منطقی آشنا شده و در ادامه مدار های ساده را برای درک بهتر منطق های 0 و 1 را می بندیم.

مدار منطقی چیست؟

مدار منطقی مداری است که در آن با صفر و یک (درست و نادرست) و ورودی ها و خروجی هایی 0 و 1 سر و کار داریم. شاید شما برای کار عملی مدرسه یک مدار ساده ساخته باشید که با لامپ، کلید و چند سیم و باتری ساخته می شود. وظیفه ی مداری که ساختید چه بود؟ روشن و خاموش کردن یک لامپ! حال همان مدار و همان لامپ را در نظر بگیریم و برای آن ها وضعیت منطقی تعریف کنیم برای مثال: لامپ روشن می تواند وضعیت منطقی معادل 1 و لامپ خاموش وضعیت منطقی معادل 0 را داشته باشد.

اما برای اینکه بتوانیم همچین مداری با همچین مفروضاتی داشته باشیم لازم است اجزائی نیز داشته باشیم که بتوانند ورودی های 0 و1، 1و1 ، 0و 0 را بپذیرند. این اجزاء همان گیت های منطقی می باشند. گیت های منطقی شامل گیت های AND و OR و NAND و NOT و NOR می باشند که در ادامه با عملکرد آنها آشنا می شوید. هرکدام از این گیت ها می توانند مقادیر 0 و 1 را به عنوان ورودی گرفته و خروجی این گیت ها می تواند هر کدام از مقادیر 0 یا 1 باشد که بیانگر وضعیت منطقی خاموش یا روشن است.

اجزاء یک مدار منطقی شامل چه مواردی می باشد؟

برای اینکه متوجه شوید 0 و 1 در کامپیوتر به چه شکل عمل می کند لازم است با مداری که در کامپیوتر وجود دارد و یا در واقع اجزاء یک مدار منطقی آشنا شوید. یک مدار الکتریکی از اجزائی شامل سیم، مقاومت، کلید، باتری تشکیل شده که اگر دستگاهی را باز کنید و صفحه یا بردی که اجزاء الکتریکی در آن قرار گرفته باشد را نگاه کنید متوجه ی اجزاء بیشتری نیز خواهید شد. این اجزاء می توانند دیود ها و IC ها و سایر اجزاء دیگر باشد که تمرکز ما در این مقاله بر دیود ها (دیود های LED ) و IC ها و گیت های منطقی است.

مقاومت ها:

مقاومت ها اجزاء محدود کننده ی عبور جریان برق و تنظیم ولتاژ (اختلاف پتانسیل الکتریکی که منجر به به وجود آمدن جریان برق می شود) در مدار الکتریکی می باشند. علامت اختصاری که در مقابل مقدار مقاومت نوشته می شود، علامت Ω می باشد.

مقاومت ها از اجزاء مدار

دیود های LED:

دیود ها اجزائی از مدار هستند که انواع گوناگونی دارند یکی از انواع دیود ها که در دستگاه ها و تابلوی برخی مغازه ها نیز مشاهده کردید LED ها هستند که وظیفه ی آن ها انتشار نور می باشد.

دیود های نور افشان و مقاومت ها

IC ها (مدار های مجتمع):

IC ها یا مدار های مجتمع همانطور که از نامشان نیز پیداست قطعات کوچکی هستند که تعداد زیادی مدار یا گیت های منطقی یا اجزاء الکترونیکی را در خود جای داده.

مدار مجتمع گیت NAND

گیت های منطقی:

گیت های منطقی، اجزائی از مدار های منطقی اند که ورودی آن ها 0 و 1 می باشد و خروجی این گیت ها می تواند هر یک از مقادیر 0 و یا 1 باشد یعنی چیزی که منطق ریاضی با آن سر و کار دارد.

نحوه ی عملکرد گیت های منطقی و ارتباط آن با منطق ریاضی

گیت منطقی AND (و):

AND یکی از عملگر های منطقی می باشد که ورودی آن در صورتی درست (1) خواهد بود که هر دو ورودی اش حالت درست داشته باشند. این عملگر در صورتی که یکی از ورودی هایش نادرست یا 0 باشد خروجی نادرست خواهد داشت. در واقع برای اینکه خروجی درست یا 1 داشته باشیم دو شرطی که بین آن “و” قرار می گیرد باید درست باشد. به عنوان مثال: شما می خواهید لباسی بپوشید در چه صورت این کار را می کنید؟ فرضا: اگر لباسم تمیز و اتو کشیده باشد آن را می پوشم. اگر هر دو شرط تمیز و اتو کشیدن برقرار باشد (هر دو درست) شما لباس را می پوشید (درست) اما فرضا اگر یکی از شروط برقرار نباشد حالت نادرست پیش آمده و شما نمی توانید لباس را بپوشید. فرضا لباس تمیز نیست (ورودی نادرست) پس از پوشیدن آن صرف نظر میکنید ( خروجی نادرست). (در روابط منطقی × به صورت و خوانده می شود).

گیت منطقی OR (یا):

در این گیت برای اینکه وضعیت درست را داشته باشیم باید حداقل یکی از شروط درست باشد. اینجا بین شروط “یا” قرار می دهیم. فرضا می خواهیم دیواری را رنگ بزنیم: اگر رنگ موجود قرمز یا آبی بود دیوار را رنگ کنید. اگر رنگ قرمز موجود باشد (درست) دیوار رنگ خواهد خورد(خروجی درست). اگر هم رنگ قرمز و هم آبی موجود باشد(هر دو ورودی درست)، دیوار قطعا رنگ میخورد (خروجی درست). اگر هیچ کدام از این دو رنگ موجود نباشد ( هر دو ورودی نادرست) دیوار رنگ زده نخواهد شد(خروجی نادرست). (در روابط منطقی + به صورت یا خوانده می شود).

گیت منطقی NOT:

عملکرد این گیت به صورت عکس کننده است. یعنی ورودی درست را به صورت نادرست و ورودی نادرست را نیز برعکس و به حالت درست در می آورد. این گیت را میتوان با گیت NAND نیز اجرا کرد که در مورد بعدی به آن اشاره شده.

گیت NAND:

گیت NAND عملکرد عکس گیت AND را دارد. یعنی ورودی و خروجی را گرفته عملکرد AND را اجرا میکند و خروجی را برعکس میکند. یعنی اگر خروجی گیت AND درست باشد در گیت NAND خروجی اش برعکس شده و نادرست خروجی نهایی خواهد بود. حال اگر هر دو ورودی این گیت را به هم متصل کنیم تا هر دو ورودی یک گیت NAND یکسان شود، میتوانیم یک عملگر NOT ایجاد می شود. در یک IC مدار مجتمع NAND به این شکل میتوان عملگر NOT داشت.

گیت NOR:

گیت NOR عملکرد عکس گیت OR را دارد. یعنی ورودی و خروجی را گرفته عملکرد ORرا اجرا میکند و خروجی را برعکس میکند. یعنی اگر خروجی گیت OR درست باشد در گیت NOR خروجی اش برعکس شده و نادرست خروجی نهایی خواهد بود. ما یاد گرفتیم که چطور با یک گیت NAND در مدار مجتمع NAND گیت NOT بسازیم. حال برای ساخت عملگر NOR نیاز به دو عملگر NOT داریم که هر دو به ورودی های گیت NAND متصل می شوند و یک عملگر NOT دیگر نیز باید به قسمت خروجی گیت NAND متصل شوند، حاصل یک عملگر NOR خواهد بود.

بافر الکتریکی:

بافر الکتریکی قسمت های مختلف مدار را از هم جدا می کند. برای اینکه بتوان بافر الکتریکی ایجاد کرد و قسمت های مختلف مدار را جدا کنیم از دو عملگر عکس کننده یا NOT استفاده می کنیم.

در تصویر زیر گیت های منطقی، ورودی ها و خروجی حاصل آنها را ملاحظه می کنید:

شماتیک گیت های منطقی

ساخت عملگر AND و OR با مدار مجتمع NAND و بررسی منطق ریاضی در آن:

توضیحات:

ساخت عملگر AND : برای انجام این کار باید به قسمت خروجی گیت NAND یک عملگر NOT افزود (با نحوه ی ساخت عملگر NOT بالاتر آشنا شدیم).

ساخت عملگر OR : برای انجام این کار دو عملگر NOT باید به دو سر ورودی گیت NAND متصل شوند.

بررسی وضعیت درست و نادرست ( 0 و 1) با آزمایش :

بررسی عملکرد و وضعیت صفر و یک در مدار می تواند با مدار مجتمع NAND و یا بدون آن صورت گیرد. برای نمونه مدار منطقی AND را به شرح زیر مثال می زنیم:

بررسی مدار منطقی AND با کلید و بدون مدار مجتمع NAND :

برای ورودی ها کلید بسته بیانگر ورودی 1 و کلید باز بیانگر ورودی 0 می باشد. حال دو کلید نیاز داریم. در رابطه با AND گفتیم در صورت برقراری دو شرط به صورت درست حاصل درست یا 1 خواهد بود. در صورت برقرار نبودن یکی از شرط ها نیز حاصل نادرست خواهد بود. حال در مدار حالت خروجی درست یا 1 حالت روشن بودن لامپ و حالت نادرست یا 0 حالت خاموش بودن لامپ است مدار را مطابق شکل می بندیم.

در صورت بسته بودن هر دوکلید (حالت ورودی 1) لامپ روشن (حالت خروجی1) را خواهد داشت و در صورت باز بودن یکی از کلید ها (حالت خروجی 0)، لامپ خاموش خواهد بود (حالت خروجی 0). در صورت باز بودن هر دو کلید هم که قطعا لامپ خاموش خواهد بود.

مدار با کلید بدون IC

بررسی مدار منطقی AND با کمک مدار مجتمع NAND :

پیش تر با ساخت عملگر AND به کمک مدار مجتمع NAND آشنا شدیم. اکنون مانند توضیح بالا می دانیم کلید های باز و بسته هر کدام به چه معناست. در صورت بسته بودن کلید جریان برق در مدار جریان دارد (1ورودی یا درست) لامپ روشن (منطق 1) است و در صورت باز بودن یکی از کلید ها و بسته بودن دیگری لامپ باز هم روشن و در صورت باز بودن هر دو کلید هم که قطعا لامپ خاموش (منطق 0) خواهد بود.